TypeScriptでの型チェックはどうしても不完全なので、走らせて初めて型の違いでエラーが出たりします。
型をanyにしてしまってはせっかくTypeScript使う意味が減ってしまいますので、キャストしちゃうべきなんだろうと思います。
numberからstringにキャストするにはtoString()関数を使うのがいいんじゃないでしょうか。
stringからnumberにするには、頭に+を付けてやればいいようです。
例：
var test:number = +$(“#test_span”).text();
とか。